Efficient Frontier와 Capital Market Line 그리기

Efficient Frontier 개요

Efficient Frontier(효율적 투자선)은 서로 다른 위험-수익률로 구성된 종목들 중 지배원리에 따라 가장 우수한 종목들을 연결한 선이다.

**지배원리: 같은 위험 하에서 기대수익률이 높은 종목이 기대수익률이 낮은 종목을 지배한다는 원리(기대수익률이 같을 경우는 낮은 위험이 superior 하다)

즉, 포트폴리오 비중을 어떻게 구성하느냐에 따라 더 높은 수익률과 더 낮은 위험을 기대할 수 있다는 것이다.

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Efficient Frontier를 그려보자

포트폴리오는 Apple, Goldman Sachs, Gold ETF로 구성했고, 기간은 2010년 1월 1일부터 2020년 1월 31일까지로 설정했다.

 

<데이터 다운과 기본 처리 과정>

구성한 세 종목의 정규화된 가격 추이를 보자.

<종목 별 정규화된 가격 추이>

골드만삭스와 금 ETF는 변동이 적었고 애플은 전체적으로 가격이 높이 상승했으며 변동성도 다른 종목에 비해 컸음을 확인할 수 있다.

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연간 수익률과 위험을 구하기 전에 합이 1인 random number [0,1)를 비중으로 설정한다.

<각 Apple, Goldman Sachs, Gold ETF에 대한 비중>

애플의 비중이 낮게 설정되었다. 따라서 이번 포트폴리오의 수익률은 낮을 것이라고 예상할 수 있다.

<포트폴리오의 연간 수익률>

실제로 확인해봐도 9.28% 정도로 수익률이 낮게 잡히는 것을 확인할 수 있다.

 

<포트폴리오의 위험>

이때, 위험도 낮지 않아 보인다. 물론 실제로 위험-수익률로 이루어진 표로 확인해봐야겠지만, 표준오차 값이 기대수익률에 비해 확실히 높아 보인다.

 

이번에는 위 작업을 여러 번 반복해서 그 값을 위험-수익률 표에 표시해보자.

<위험-수익률 좌표 위에 임의의 포트폴리오 수익률을 표시>

애플, 골드만삭스, 금 ETF의 가능한 모든 비중을 조합해서 그래프에 나타내기 위해 윗 작업을 여러 번 반복시켰다. 

<포트폴리오의 비중 조절을 통해 얻을 수 있는 위험-수익률 조합>

각 종목들의 비중에 따라 위험-수익률 조합이 다양하게 나타남을 확인할 수 있다. 특히 같은 수익률 수준에서 위험도가 달라짐을 확인할 수 있다. 이를 통해 포트폴리오 비중을 어떻게 구성하느냐에 따라 효율적인 투자인지 아닌 지 판단할 수 있게 된다. 그리고 분포의 외곽이 부메랑 모양임을 확인할 수 있는데, 그중 변곡점 윗부분이 효율적 투자선이 된다.

 

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

<Efficient Frontier>

위 그림의 초록 선이 이번 포트폴리오의 효율적 투자선이 된다.

 

추가로 효율적 투자선에서 중요하게 살펴볼만한 지표를 살펴보자.

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Sharpe Ratio: 위험 1 단위 증가 당 얻는 평균 초과 수익률

Sharpe Ratio=(𝜇𝑝−𝑟𝑓)/𝜎𝑝

where 𝑟𝑓=무위험이자율, 𝜇𝑝=평균수익률, 𝜎𝑝=위험

 

Sharpe Ratio를 쓰는 이유는 위험-기대수익률 관계 속에서 최대 수익을 얻고 싶기 때문이다. 실제로 위험-수익률 분포에서 가장 이상적인 위치는 좌상단인데(위험 대비 수익률이 가장 높다) Sharpe Ratio를 통해 해당 위치를 찾아낼 수 있다.

 

Sharpe Ratio를 구해보자. 무위험이자율은 0%로 가정했다.

 

최대 Sharpe Ratio를 구하는 방법이다.

<Max Sharpe-Ratio>

Return: 20%

Risk: 18.5%

Sharpe-Ratio=1.08

비중 - 애플: 69.4% / 골드만삭스: 0% / 금 ETF: 30.6%

 

 

최소 위험을 가진 지점을 찾는 방법이다.

<Min Volatility>

Return: 8.3%

Risk: 12.3%

Sharpe-Ratio=0.68

비중 - 애플: 8.3% / 골드만삭스: 12.3% / 금 ETF: 67.6%

 

이를 그림으로 그려보자.

<Maximum Sharpe Ratio 지점과 Minimum Volatility 지점>

빨간 별이 Sharpe Ratio가 최대화되고 노란 별에서 위험이 최소화가 된다. 그리고 두 점 모두 효율적 투자선 위에 위치함을 확인할 수 있다.

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CML 그리기

CML(Capital Market Line - 자본시장선)은 CAL 중 하나로 시장수익률과 무위험이자율을 연결한 선. 즉, Market Portfolio의 CAL이라 볼 수 있다. 다른 CAL과 비교해서 가장 높은 Sharpe Ratio를 가진다.

**CAL(Capital Allocation Line - 자본배분선): Risky asset과 risk-free asset을 조합하여 만들어지는 위험-수익률 그래프 위에 그려질 수 있는 모든 선.

 

이 과정은 Yves Hilpisch의 'python for finance: mastering data-driven finance' 책을 참조하여 진행 헸다.

 

CML을 그려보자. 무위험이자율은 1%로 설정했다.

<Capital Market Line>

위 그래프의 별에 접한 선이 자본시장선이다. 별은 Tangency portfolio라고 하며, 가장 높은 Sharpe Ratio를 가진 지점이다. 보다시피 tangency portfolio는 효율적 투자선 위에 위치한다. 그리고 자본시장선은 tangency portfolio에 접하는 것을 확인할 수 있다.

 

<Tangency Portfolio의 비중>

Tangency portfolio의 비중은 애플이 73.9% 금 ETF가 26.1%로 나타났다. 골드만삭스의 경우 보유하지 않는 편이 수익률에 더 도움이 되었다.