CAPM α 와 β 구하기

CAPM 개요

CAPM(Capital Asset Pricing Model): 𝐸(𝑅𝑖)=𝑅𝑓+𝛽𝑖(𝐸(𝑅𝑀)−𝑅𝑓)
                where 𝐸(𝑅𝑖) = 자산 i의 기대수익률, 𝑅𝑓= 무위험이자율, 𝐸(𝑅𝑀) = 시장수익률,
                          𝛽𝑖=𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖,𝑅𝑀)/𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑀)

 

CAPM(자본자산가격결정모형)은 시장위험율이 주어져 있을 때, 개별 자산(포트폴리오)의 가격을 구할 수 있는 모형이다. 리스크 요인이 하나만 있는 모형으로, 이때 리스크는 시장 지수가 된다.

즉, 시장 지수와 연동돼서 수익률이 나타나게 된다는 것이다.

 

이때 β는 민감도로, 종목의 수익률이 시장 지수에 대해 얼마나 반응하는지이다. 만약 시장보다 반응하는 정도가 크다면 β 값이 1보다 크게 나타날 것이고 그렇지 않다면 β 값이 1보다 작게 나타날 것이다. CAPM에서 무위험이자율과 시장수익률은 주어지므로 β만 알면 해당 종목이 수익을 거둘 수 있는지 없는 지를 알 수 있다.

 

 

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삼성전자의 β값을 직접 구해보자 

 

β 값을 구하기 위해 yahoo finance에서 삼성전자와 코스피 지수(시장 위험률로 가정)를 가져온다. 기간은 자유롭게 정하면 되는데, 최근 코로나 사태로 인해 주가 정보에 큰 변동이 발생했음을 고려하여 올해 1월 말까지의 데이터만을 활용했다. 

코로나 사태로 인해 최근 주가의 폭락 과정에서 나타나는 β 값은 차후 따로 계산해 보겠다.

 

<yahoo finance를 활용해서 다운받은 주가 정보와 그 데이터를 활용하기 위해 전처리한 과정>

다운로드한 주가 정보에서 종가만을 남기고 숫자를 보기 편하게 퍼센트 변환을 진행했다.

 

<데이터의 형태와 대푯값>

이후 삼성전자와 코스피 지수 사이의 관계를 시각화했다.

 

<삼성전자와 코스피 사이의 관계>

위 그림을 보면 둘 사이의 선형 관계가 어느 정도 나타남을 알 수 있다. 또 삼성전자의 변동 폭이코스피 지수보다 크므로 β 값이 1보다 클 확률이 더 높음을 확인할 수 있다.

 

좀 더 자세한 값을 파악하기 위해 회귀분석을 진행했다.

 

<OLS 회귀분석 값>

위에서 Intercept 값이 β를 회귀 분석했을 때 나타나는 절편이고 CAPM의 α 값이 된다. 

**OLS가 주어진 데이터를 설명하는 가장 fit 한 직선을 1차 함수를 나타내는 과정이므로 이때 그 직선(1차 함수)의 절편이 필연적으로(절편이 0이라는 조건이 있지 않는 한) 나타나게 된다. 쉽게 생각해서 추정치이기 때문에 오차가 발생한다고 이해하면 된다.**

Intercept 밑 KOSPI가 종속변수이므로 그 값이 β가 된다.

즉, 삼성전자의 α는 0.048 β는 1.224이다.

 

이때 무위험이자율을 0으로 가정하면 삼성전자의 수익률은 𝑅𝑖=0.048+1.224∗∗𝑅𝑀가 된다.

 

추가적으로 둘 사이의 결정계수(R-squared)는 0.452로 높지 않다. 그리고 β에 대해선 p-value가 0.05 미만이므로 통계적으로 유의미한 반면, α에 대해선 p-value가 0.056으로 통계적으로 유의하지 않다. 

 

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월별 α, β값을 구해서 이를 시각화해보자

 

기간을 조정해서 삼성전자의 α와 β 값을 새로 구해보자. 

 

다운로드한 데이터의 총기간이 10년 정도 되기에 전체 기간에서 추정한 α와 β는 최근의 동향을 불충분하게 반영하고 있을 수 있다. 따라서 월별 α와 β를 3년 단위로 계산한다.

 

우선 월별 데이터의 회귀분석 결과를 보자.

 

<전체 기간의 월별 α와 β>

일별 데이터로 했을 때와 유사한 결과를 보여주는 것을 확인할 수 있다.

 

이번에는 월 데이터를 3년 단위로 묶어 삼성전자의 α와 β 추이를 확인해보자.

 

<삼성전자의 α와 β의 월별 추이>

이를 보면 β는 한 번을 제외하고 항상 1보다 크다. 즉, 코스피 지수보다 삼성전자의 변동률이 거의 항상 더 높다.

 

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CAPM 해석

 

데이터를 기반으로 삼성전자의 CAPM의 α와 β를 도출했다. 그렇다면 이는 어떤 함의를 가질까?

 

위에서 구한 𝑅𝑖=0.048+1.224∗∗𝑅𝑀를 바탕으로 해석해보자.

 

앞서 말했듯이 β는 종목 수익률이 시장 지수에 대한 민감도이다. 이는 시장 지수와 연동되기에 체계적 위험이기에 제거할 수 없는 위험이고, 위험을 감수하는 것에 대한 리스크 프리미엄으로 볼 수 있다. 이 경우 시장이 1% 상승한다면 삼성전자 값은 1.224% 상승할 것이다. 랜덤워크를 가정했을 때, 투자자는 이 β 이상의 수익을 기대할 수 없을 것이고 따라서 보다 우월한 정보를 가지지 않은 투자자들의 최선의 투자전략은 시장 포트폴리오를 보유하는 것이 된다. 따라서 β 중심의 투자 전략은 소극적인 투자 전략이고 인덱스 펀드가 대표적이다.

 

반면 α는 시장 지수에서 포착되지 않는 수익률을 보여준다. 이 경우 CAPM α는 0.048이고 만일 이 수치가 통계적으로 유의미할 경우, 우리는 시장 지수에 의해 포착되지 않은 추가적인 4.8%의 수익이 있음을 알 수 있다.

CAPM α는 EMH 입장에서는 single risk factor 외에 다른 multi risk factor의 존재를 입증하는 것이 된다. 반면 행태주의 입장에서 α의 존재는 noise trader의 존재로 인한 주가의 overreaction 등 다양한 기술적인 분석을 통해 추가적인 수익률을 볼 수 있다고 해석한다.

 

CAPM은 한계가 분명히 존재한다. 모든 종목을 비율에 맞게 포함시킨 시장 포트폴리오를 현실적으로 구할 수 없으며, 추정된 β 값으로 미래 수익률을 예상할 수 없다는 한계도 존재한다. 하지만 체계적 위험과 비체계적 위험을 인식하고 risk factor인 β값을 찾아내어 광범위한 시장 참가자들이 CAPM을 참고하고 있다는 데 그 의의가 있다.